↓
 
Visit the English version
Blogg Off

Blogg Off

Blandade tankar

  • Idéer
  • Matematik
  • Musik
  • Språkligt
  • Logik
  • Programmering
  • Om bloggaren

Kategoriarkiv: Logik

Ändligt många böcker?

Blogg Off Postat 7 oktober, 2012 av Simon Jensen18 januari, 2015 1

Hur många böcker har det skrivits sedan vi människor lärde oss skrivkonsten? Hur många böcker kommer det att skrivas innan mänskligheten försvinner? Hur många böcker är det teoretiskt (läs: matematiskt) möjligt att skriva?

Det finns ett ändligt antal skriftspråk. För varje sådant skriftspråk används en ändlig uppsättning typografiska tecken. En bok består av ett ändligt antal av dessa tecken. Alltså borde det finnas ett ändligt antal möjliga böcker.

Låt oss för stunden anta att ett sådant antal existerar. Då finns det alltså en övre gräns för hur många böcker det är möjligt att skriva. Eftersom vi människor i mycket hög utsträckning använder böcker som verktyg för att ”lagra” våra poetiska, filosofiska, psykologiska och teknologiska reflektioner, så skulle man kunna drista sig till at anta att alla tankar kan nedskrivas i bokform, och om man accepterar detta kommer man till den lätt skrämmande insikten att det finns ett ändligt antal tankar som vi människor kan tänka och någonsin kommer att kunna tänka. Men låt oss för stunden hålla oss till att det finns ett ändligt antal böcker.

Låt oss vidare, som tankeexperiment, anta att vi i framtiden låter en otroligt (läs: omöjligt) snabb dator systematiskt skapa samtliga möjliga böcker. Denna uppgift består i att gå igenom samtliga kombinationer av typografiska tecken (ändligt många) och välja de som ger språklig mening (vilket är en försvinnande liten del av alla de kombinationer som finns). Datorn skulle till exempel kunna börja med alla böcker som har 25 sidor. I minnet skapas hela boken systematiskt, tecken för tecken, i alfabetisk ordning (eller utifrån någon klurig superoptimerad algoritm som något framtida geni hittar på). En sorts grov språkkontroll utförs därefter. Om någonting är felaktigt kasseras boken och datorn skapar nästa bok. Om hela boken är felfri sparas den på en hårddisk eller något framtida lagringsmedium. Samtliga 25-sidiga böcker som följer språkreglerna kommer så småningom att finnas lagrade. Då fortsätter datorn med böcker på 26 sidor, därefter böcker på 27 sidor och så vidare.

När datorn är klar finns samtliga böcker (som någonsin kan skrivas) lagrade på datorns externminne. Därefter är det bara att börja läsa. Det finns poesi, romaner, detaljerade beskrivningar av historiska händelser, användarmanualer för apparater som ännu ej har uppfunnits, hemligstämplade dokument, falsifikat, sånger, framtida politiska manifest, heliga böcker, självbiografier skrivna av människor som ännu ej har fötts, telefonkataloger för städer som ännu ej har byggts och alla böcker som brände i Alexandrias bibliotek anno 48 f.Kr. och så vidare. Alla hemligheter som kan nedskrivas finns där. Allt finns där. När datorn är klar med sitt arbete kan man söka efter alla typer av information i detta enorma e-bibliotek.

Hur många böcker kommer då att finnas autoförfattade och lagrade? Tja, det vet vi inte, eftersom det kommer att uppfinnas nya ord i framtiden och eftersom den kontroll som datorn utför (för att avgöra huruvida en bok ska sparas eller kasseras) inte är klart definierad. Ska det enbart vara böcker på svenska? Eller kanske engelska? Nutidsengelska? Eller ska vi ta med böcker som innehåller ord som idag inte ger någon mening alls? Man kan mena att alla böcker ska med, alltså även de som inte ens innehåller riktiga ord, eftersom vi inte vet hur framtidens språk kommer att se ut. Men vi kan också begränsa oss till all information som kan översättas till ett av de språk som existerar i den tid då datorns enorma arbetsuppgift utförs.

Vi vet alltså inte vilka böcker (alltså kombinationer av typografiska tecken − en följd av tecken om man så vill) som ska räknas som giltiga böcker. Men vi kan däremot beräkna antalet möjliga böcker.

Låt oss först göra ett par antaganden för att göra de efterföljande beräkningarna lite enklare.

1) En bok består av maximalt 1000 sidor (om den är längre kan den delas upp i ett ändligt antal band som var för sig består av maximalt 1000 sidor).

2) På varje sida i en bok finns det maximalt 100 rader med maximalt 200 tecken på varje rad (om den har fler tecken på en sida, så går det att göra en ny utgåva med maximalt 100 rader och 200 tecken per rad).

3) I en bok används ett ändligt antal typografiska tecken. En bok på engelska kan exempelvis innehålla alla bokstäver (gemener och versaler) från A till Z samt ett antal specialtecken såsom ! ” & . , ; : + ( ) och så vidare (ett mellanslag räknas som ett tecken och även radbyte och sidskift räknas som tecken). Låt oss för enkelhetens skull anta att antalet typografiska tecken som behövs är 40, alltså som svenska och engelska med enbart versaler (om boken är skriven på ett annat språk kan den översättas till ett språk med maximalt 40 typografiska tecken).

Det är inte helt enkelt att acceptera ovanstående antaganden (och jag är inte säker på att man bör acceptera dem). Jag ska snart återkomma till svårigheterna.

Men vi kan enkelt beräkna antalet möjliga böcker som följer ovanstående definition. Jag benämner detta tal Ḃ och räknar lite:

De kortaste böckerna som följer definitionen ovan består av 1 sida med 1 rad och 1 tecken. Antalet sådana ”böcker” blir 40 (eftersom vi har 40 möjliga typografiska tecken). Vi kan kalla detta antal för Ḃ1 och gå vidare till nästa grupp av böcker, nämligen de som består av totalt 2 tecken. Vi inser att antalet böcker i denna grupp blir Ḃ2 = 40 x 40 = 40 upphöjt i 2. Den längste boken består av 1000 sidor med 100 rader på varje sida och 200 tecken på varje rad, alltså totalt 20000000 tecken. Och vi får Ḃ20000000 = 40 upphöjt i 20000000, alltså ett ofattbart stort tal. Summan av alla dessa delsummor blir
Antal möjliga böcker med högst 1000 sidoroch detta tal är så stort, att alla filosofer tryggt kan fortsätta sova gott om natten (tja, en del av dem sover ju även dagtid), ty det är teoretiskt omöjligt att någonsin lagra ens en mycket liten bråkdel av dessa böcker, eftersom det inte finns tillräckligt med elementarpartiklar i universum för att bygga datorns externa lagringsmedia (även om man kunde lagra miljardtals böcker i varje elementarpartikel).

Men nu börjar det krångliga, rent logiskt. Om vi ändrar definitionen av en bok till att maximalt vara 200 sidor, istället för 1000 som ovan, så får vi ju ett mycket mindre antal möjliga böcker (dock fortfarande ett hiskeligt stort tal). Och alla böcker på 1000 sidor kan ju lätt delas upp i 5 band med vardera 200 sidor. Och alla dessa band är ju med bland samtliga möjliga 200-sidorsböcker.

På samma sätt kan vi resonera vidare. Varför inte dela upp alla böcker i pyttesmå band med bara 10 sidor? I varje bok kan vi då säga att det bara finns 25 rader på varje sida och maximalt 50 tecken på varje rad. Då får vi ett mycket mindre antal, eftersom varje bok nu består av maximalt 12500 tecken:
Antal möjliga böcker med högst 10 sidorOK, filosoferna sover fortfarande, det ska jag medge (talet ovan är mycket stort). Så vi fortsätter:

Nu delar vi upp alla böcker i band med endast en sida och endast tio rader på denna ena sida. På varje rad finns bara tio typografiska tecken. Då får vi
Antal möjliga böcker innehållande högst  100 teckenvilket för all del fortfarande är ett ofattbart stort tal. Filosoferna kan fortsätta vara trygga, även om man föreställer sig kvantdatorer, parallella universa och annat som kvantmekanik och strängteori må ha att bjuda på i framtiden. Men det är egentligen inte det som är poängen. Talet ovan är många gånger mindre än det tal som beskriver alla möjliga böcker med maximalt 1000 sidor. Och ändå kan vi lagra samma mängd information i våra små ensidesband som vi kan i våra 1000-sidorsböcker.

Hur kan det finnas den samma mängd information i mycket färre, och mycket mindre, böcker?

Någonting är galet. Knäcker ni den här, kära läsare, så blir jag imponerad! (Jag vet naturligtvis vad förklaringen är, annars hade jag inte publicerat detta).

Smaklig måltid!

Publicerat i Logik | 1 Kommentar

Lögnarna och Tjallarna

Blogg Off Postat 18 juni, 2011 av Simon Jensen12 januari, 2015  

Under veckan läste jag den fantastiska boken The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, skriven 1959 av Martin Gardner. På svenska heter den Rolig Matematik och är utgiven av Natur och Kultur, 1985. Läs den och njut.

Gardner ger en fullständig analys av ett gammalt känt problem. Jag fick lite ”inspiration” av detta och skrev en utvidgad, modern variant:

En landsortsbo anländer till storstaden, går genast vilse och befinner sig plötsligt i ett område där två rivaliserande ungdomsgäng huserar. Det framgår av områdets graffitti att de två ungdomsgängen heter Lögnarna och Tjallarna.

Landsortsbon frågar en förbipasserande: ”Vad handlar det här om?”

Den förbipasserande ger följande förklaring: ”Lögnarna har skapat en egen sjuk subkultur som innebär att samtliga deras medlemmar alltid ljuger. Som motvikt till detta har Tjallarna skapat en subkultur som innebär att de alltid talar sanning. Alla som tillhör ett av dessa två gäng bär svarta kläder.”

Den förbipasserande, som bär vita kläder, försvinner därefter snabbt.

Efter en stund kommer landsortsbon till ett vägskäl. En skylt förklarar att den ena vägen leder ut ur det gängstyrda området, medan den andra leder till en återvändsgränd dit båda gängen brukar lura oskyldiga oinvigda och misshandla dem svårt. Under skylten satt det tidigare en pil som visade rätt väg ut, men eftersom pilen var gjort av metall har den för länge sedan nedmonterats och gjorts om till någon sorts vapen.

Vid vägskälet står en ensam svartklädd person. Landsortsbon går fram till denna och säger: ”Eftersom du har svarta kläder på dig, så antar jag att du är medlem i antingen Lögnarna eller Tjallarna, stämmer detta?”

Den svartklädde svarar: ”Nej, alla gängmedlemmar bär vita kläder. Du får ställa mig en enda fråga till. Sedan går jag härifrån.”

Landsortsbon tänker nu ett ögonblick, formulerar därefter en enda fråga och till sist avslöjas den rätta vägen. Hur?

Publicerat i Logik | Lämna ett svar

Elsa Beskow

Blogg Off Postat 17 mars, 2010 av Simon Jensen12 januari, 2015 1

Den här hörde jag på en pub igår. Kan du din Beskow? Kan du din färglära? Din genetik?
Ersätt frågetecknet med det rätta svaret. Läs första kommentaren för att se lösningen.

Tant Grön bor i gröna huset
Tant Gredelin bor i lila huset
Tant Brun bor i bruna huset
Farbror Blå bor i blåa huset
? bor i vita huset
Publicerat i Logik | 1 Kommentar

En logisk uppgift

Blogg Off Postat 11 mars, 2009 av Simon Jensen11 januari, 2015  

Den här hörde jag för många år sedan. Jag har omformulerat den lite, dels för att göra den svårare och dels för att mina kära läsare inte ska börja leta efter svaret utan tänka ut det själva.

Matematikprofessor Svensson var på besök hos sin kollega doktor Karlsson. Under besöket frågade professor Svensson: ”Hur gamla är dina tre barn egentligen?”
Doktor Karlsson tänkte en stund och svarade sedan: ”Ingen av dem är lika gamla, summan av deras åldrar är maximalt tio och produkten av deras åldrar är lika med mitt husnummer som du ju känner till”.
Detta fick professor Svensson att börja grubbla. Men efter en stund sade hon: ”Det går inte att lösa, eftersom det fattas…”
Doktor Karlsson avbröt skrattande: ”Javisst fattas det en…” och därefter gav han professor Svensson en extra upplysning. De skrattade, och båda visste nu hur gamla Karlssons barn var.

Vilket husnummer har doktor Karlsson?

Publicerat i Logik | Lämna ett svar
©2021 - Blogg Off
↑