Äntligen blev jag klar med detta: www.inverteddice.com.
Världens första inverterade tärningspel finns nu online.
Alla som har läst mitt tidigare inlägg om inverterade tärningar vet vad det här handlar om.
Testa spelet: www.inverteddice.com. Spelet kallades tidigare Trehundrasextio™, men jag följde kloka rådgivares råd och ändrade namnet.
För länge sedan användes vapensköldar av riddare. Senare användes de av universitet samt berömda vetenskapsmän och andra stora personligheter. Folk som är i kamp måste ha en sköld. Jag gillar ju att uttrycka mig och delta i debatter, och det är också en sorts kamp. Det samma gäller musiken. Så här kommer den … en modern vapensköld!
Jag har blivit medlem i ännu en förening. På föreningens hemsida presenteras mitt föredrag om kreativitet:
Följ med på en resa till underlandet och förstå kreativitetens innersta väsen. Undervägs behandlas ämnen som improvisation, intelligens, abstraktion som grundläggande tankeverktyg, språk, poesi, musik, tid, kommunikation, sexualitet, sömn, livets möjligheter och människans fascination av döden. Är publiken i rätt stämning kan det tänkas att turen även går förbi relativitetsteori och metamatematik ur litterär synvinkel.
Många års scenerfarenhet präglar både uppläsningar och föredrag på ett humoristiskt och livsbejakande sätt.
Bokning sker via Författarcentrum Väst eller genom att kontakta mig.
Jag satt en hel dag och lekte med ett matematiskt bevis … för att slutligen ge upp. De tekniska detaljerna är väldigt abstrakta, så jag har skapat en PDF-fil med all information.
Jag har nämligen ”upptäckt” en ny aritmetisk funktion som har vissa roliga egenskaper. Denna funktions talföljd har nu blivit godkänd på OEIS (sequence A224914). Men ingen har hittills bevisat min nya sats.
Det är lite halvspännande!
Är du matematikstuderande eller expert på talteori? I så fall är jag tacksam om du kan ta en titt på detta:
Kanske blir det du som löser denna?
Tillägg (april 2014):
Spelet Inverted Dice® har nu kommit i en onlineversion, se www.inverteddice.com.
Reglerna finns HÄR. I dessa regler finns exempel som inte är med i nedanstående inlägg.
Detta inlägg handlar om helt vanliga tärningar med 6 sidor. Man kan tänka sig olika utvidgningar av det efterföljande och sedan behandla även andra typer av tärningar. Men tills vidare, alltså 6 sidor med tärningsögonen 1, 2, 3, 4, 5 och 6.
Slår man med två tärningar är det ofta så (i hundratals olika spel), att man tittar på summan av de tärningsögon som visas. Det finns som bekant 11 olika möjliga värden (2 till 12) vid ett kast med två tärningar. Min idé är att istället titta på summan av de tärningsögon som inte visas på någon tärning. Därmed får man 11 helt andra värden (nämligen 10 till 20, alltså med två tärningar).
Jag har valt namnet inverterad tärning för detta sätt att tolka en tärning. Lite exempel är på sin plats.
Spela med 1 inverterad tärning
Denna variant är den minst intressanta, men den kan ändå användas till mycket:
Spelar man med 1 inverterad tärning kan man därmed få värdena från 15 till 20 (alltså 6 olika värden).
Det finns en sjättedels chans att få ett av dessa värden, precis som med ett vanligt tärningskast.
Detta skulle kunna användas i olika nya (ännu ej uppfunna) typer av spel, eller i varianter av existerande spel. Till exempel kan man tänka sig att man ibland får flytta fram sin spelpjäs ett tärningskast, och ibland (i utvalda situationer) får man flytta fram ett inverterat tärningskast (vilket ju är ett väsentligt större tal). Kanske kan till och med Fia med knuff bli icke-tråkigt.
Spela med 2 inverterade tärningar
Här blir det mycket mer intressant. Nu ändras nämligen sannolikheterna drastiskt.
Vi tar lite exempel:
Spelar man med 2 inverterade tärningar kan man få värdena från 10 till 20 (alltså 11 olika värden).
Vi inser att det bara finns ett enda sätt att få resultatet 20, nämligen när båda tärningarna visar 1.
Däremot ser vi att exempelvis resultatet 18 kan uppnås på flera olika sätt. Det är dags att ställa upp en fullständig tabell, för att få lite överblick. Det finns 36 möjliga kombinationer att titta på:
Nu kan vi enkelt skapa de två tabeller som visar sannolikheterna att få ett visst resultat med två tärningar, normalt respektive inverterat:
En intressant egenskap med två inverterade tärningar är, att de två högsta talen också är de som är svårast att slå. Så är vanligtvis inte fallet, eftersom det normalt är lika svårt att slå 2 som 12 med två tärningar. Jag kan tänka mig många användningsområden för detta. Testa exempelvis att spela Monopol med inverterade tärningslag istället för vanliga (eller lägg till nya regler, så det ibland kan uppstå situationer där en spelare måste använda inverterade tärningskast istället för vanliga). Hitta gärna på nya egna spel.
Spela med 3 inverterade tärningar
Nu blir det ännu mer intressant. Med 3 inverterade tärningar har man nämligen inte samma antal möjliga resultat som med 3 vanliga tärningar.
Med 3 vanliga tärningar ligger summan mellan 3 och 18 (alltså 16 olika möjliga resultat), men med 3 inverterade tärningar ligger resultatet alltid mellan 6 och 20 (alltså endast 15 olika möjligheter).
Att så är fallet inser vi enkelt, eftersom det lägsta resultatet är det som uppkommer när enbart de tre största tärningsögonen, alltså 4, 5 och 6, visas. Summan blir då 1+2+3 = 6. På samma sätt har vi, att det största resultatet är det som uppkommer när enbart talet 1 visas, alltså 2+3+4+5+6 = 20.
Vi skulle kunna skapa en tabell som visar samtliga möjligheter att få värdena mellan 6 och 20 för tre inverterade tärningar, men detta är rätt mödosamt att göra.
Som exempel kan jag nämna att resultatet 11 kan fås med följande kombinationer:
Jag överlämnar åt mina läsare, att beräkna samtliga sannolikheter. Detta kan göras manuellt med hjälp av en tabell liknande Tabell 1, men det är ett stort arbete (lite programmeringskunskaper underlättar i så fall). Det finns 6 gånger 6 gånger 6 möjliga utfall, så tabellen kommer att bestå av 216 rader.
Spela med 4 inverterade tärningar
Vanligtvis har man 21 olika möjliga resultat (från 4 till 24) vid ett kast med 4 tärningar, men vid ett inverterat kast har vi endast 18 möjligheter (från 3 till 20). Jag överlämnar åt läsaren att själv titta på denna variant (och hitta på egna spel).
Spela med 5 inverterade tärningar
Denna variant är extremt intressant. För det första, så finns det precis 20 möjliga resultat vid ett kast med 5 inverterade tärningar, och de olika resultaten ligger i intervallet 1 till 20. Kort sagt:
För det andra, så är 5 tärningar precis det antal som används i ett vanligt spel Yatzy. Jag har försökt skissa på en sorts Inverterad Yatzy, men eftersom Yatzy inte bygger på summor, utan snarare på mönster och antal, så är det svårt att invertera detta spel.
Här kommer några exempel på kast med 5 inverterade tärningar (tänk på att resultatet är summan av de tal som inte visas):
När man ska räkna ut resultatet av ett inverterat tärningskast, så kan det vara bra att veta att summan av talen från 1 till 6 är 21. Om man exempelvis enbart slagit treor och femmor, så vet man att den inverterade summan blir 13, eftersom 3 plus 5 är 8, och 21 minus 8 är 13. Det är ibland lättare att räkna åt det hållet.
Spela med 6 inverterade tärningar
Denna variant är också intressant. Det är den första varianten som har 21 olika resultat och där det dessutom är möjligt att få resultatet noll. Jag överlämnar alla detaljer åt läsaren. Kanske finns det någon matematikstuderande som vill fördjupa sig i detta.
Spela med många inverterade tärningar
Som avslutning vill jag presentera en liten tabell som visar antalet möjliga resultat med n stycken tärningar vid vanliga kast respektive inverterade kast.
Det här är bara en kort fundering. Sommartiden är slut. Det är mörkt och kallt. Och då glider mina tankar fram till den stundande ljuva jultiden. Den provocerar mig. Vår rika del av världen frossar mer än vanligt. Överkonsumtion och falsk lycka. För några år sedan gick jag genom Nordstan mitt under julrusningen. Det är vidrigt. Batongbeväpnade vakter går omkring och ser till att alla uteliggare slängs ut i kylan. Varför de inte får sitta och värma sig vet jag inte, men jag antar att de ”stör” på något sätt. De ser inte fina ut, de ser fattiga ut. Kanske är butiksägarna rädda att kunderna ska få dåligt samvete och påminnas om att de lever i ett samhälle med olika socioekonomiska klasser? Jag vet inte.
Då fick jag idén att ställa upp ett antal långa, fint dukade bord (vita dukar, kandelabrar, silverbestick etc) och servera en femrätters julmiddag åt alla stadens hemlösa, flera dagar i rad, med sittningar från middag till stängningsdags. Champagne och äkta kaviar åt de utslagna!
Det är bara att samla in pengarna och ansöka om tillstånd. Om svaret blir nej, så går man direkt till pressen. Det är inte politiskt korrekt att tala illa om de hemlösa. Blir svaret forfarande nej, vilket tyvärr är troligt, så kan man åtminstone skapa debatt.
Eventuellt skulle tidningen Faktum kunna stå för distribution när det gäller att få ut en riktigt fin inbjudan, tryckt i tidningen såklart.
Här kommer ett förslag på en politisk aktion. Syftet är att lägga fokus på det jag anser vara ett av vår tids största hot mot fortsatt existens, när allt kommer omkring (jag kan förklara detta en annan dag), nämligen girighet.
Jag vill inte ta åt mig äran för denna idé eftersom jag har ett svagt minne av att någon har berättat den för mig på ett möte för ungefär tio år sedan. Dessutom tror jag att den redan har förts ut i livet på flera håll, i olika länder. Det är en rolig idé, som i bästa fall inte kostar mycket att utföra och dessutom öppnar folks ögon, får vissa att skämmas, får andra att glädjas samt ger de som utför aktionen en ny insikt i vissa sociologiska och psykologiska mekanismer. Så här går det till:
På en gågata, en bred trottoar eller någon annan sorts passage med stor genomströmning av gångtrafikanter står en person med fickorna fulla av tiokronorsmynt. Denna person har en enda uppgift, nämligen att ge bort så många tior som möjligt till förbipasserande.
− Hej, här får du tio kronor av mig. Ha en trevlig dag.
Femtio meter längre bort på samma gångpassage står ytterligare en person. Denna person har en enda uppgift, nämligen att få så många tior som möjligt av förbipasserande.
− Ursäkta, skulle du kunna ge mig tio kronor?
Det som händer är spännande. De förbipasserande som först träffar givaren kommer troligtvis att vara mer benägna att kort efter ge bort tio kronor. De blir glada, och lite roade av världens slumpmässiga möten. Men de som går i motsatt riktning, och därmed träffar tiggaren först, kommer förhoppningsvis att skämmas lite när de kort efter själva får tio kronor (några få behöver dock inte skämmas eftersom de faktiskt gav pengar till tiggaren).
Eventuellt kan man vara flera stycken för att bättre nå ut till de förbipasserande. Givetvis kommer det att finnas människor som enbart träffar den ena av aktivisterna, men det är ju inte så viktigt. Det intressanta är de två kategorier som nämns ovan. Hur många tior kommer tiggaren att få? Tja, det är svårt att säga. Men en del förbipasserande hamnar i alla fall i en situation där de blir glada om de ger bort en tia och får en lite dålig smak i munnen om de inte gör det. Och det är rätt unikt i dagens senkapitalistiska samhälle.
Hösten 2009 blev jag inbjuden som skribent på en blogg (som numera är stängd) tillhörande bokförlaget Trombone.
I anledning av detta hittade jag på en ny genre inom poesin, så kallad utvidgad anagrampoesi. Det var mest på skoj, men jag har sedan dess upptäckt en styrka vid ett så restriktivt författande, så jag tänkte att mina bloggläsare borde invigas i hemligheten.
Precis som de regler som används av författare av haiku är den utvidgade anagrampoesins regler enkla (men det är ett pussel att använda dem rätt). Här kommer reglerna:
1. Tre rader i varje strof.
2. I varje strof måste alla rader vara inbördes anagram.
3. Sista raden i varje strof ska stå i en sorts motsatsförhållande till den efterföljande strofens första rad.
4. Dikten måste ge mening som helhet.
Det var länge sedan jag skrev en dikt enligt dessa regler. Så nu är det dags:
Tiggaren lever än,
ringer egna: Ät! Lev!
Välta regeringen!
Oppositionen sviker.
Poet, se opinion! Skriv
visors etik i neonpop.
Jag har en massa gamla idéer liggandes i min skrivbordslåda. De måste ut. Jag hinner inte själv förverkliga dem. Ni är därför mycket välkomna att ta dem och använda dem.
Först ut är en sorts politisk förevisning, ett påpekande om ojämlikhet, en utdragen manifestation för solidaritet om man så vill:
I dagens samhälle finns ett oerhört stort utbud av nöjen och kulturella aktiviteter som enbart är till för folk med pengar, alltså rika människor. Har du inte råd, så kan du naturligtvis inte komma in. Naturligtvis. Vi är vana vid det. Men det är egentligen djupt ojämlikt. Det finns en obalans som de flesta nog inte behöver anstränga sig för att få syn på.
Alla rika kan välja att äta middag tillsammans med den fattiga delen av befolkningen, men alla fattiga kan inte välja att äta middag på de rikas dyra restauranger. Det är orättvist.
Det finns naturligtvis en lösning på detta, nämligen att alla blir lika rika, vilket jag inte anser vara realistiskt. Det kommer inte att hända, hur mycket vi än skulle kunna drömma om det.
Så därför föreslår jag, i protest mot ett samhälle med ökande ekonomiska klyftor, att det startas nya uteställen enbart för fattiga!
Man kan börja med en klubb som arrangerar konserter. Är du för rik, så kan du naturligtvis inte komma in. Du är mycket välkommen tillbaka när du har blivit fattigare. Ge bort en del av dina pengar, sedan får du komma in.
Rent praktiskt kan detta lösas på många olika sätt. Exempelvis kan besökarna föranmäla sig och skicka kopior på självdeklaration, bankkontoutdrag och dylikt. Vid dörren visar alla upp sin legitimation och personalen kollar i en lista över föranmälda. Vill någon komma in direkt (utan föranmälning), så är det kanske möjligt att kolla en persons inkomst och förmögenhet direkt via en hemsida. I annat fall måste personen visa upp självdeklaration och saldo på diverse bankkonton samt skriva under på en liten lapp för att intyga att uppgifterna stämmer.
När väl en person är godkänt, så kan detta gälla vid alla arrangemang under en viss tidsperiod, innan en ny inkomstkontroll måste göras. Fundera över detaljerna, kära läsare. Ett enkelt sätt att få tag på information är att kontakta Skatteverket. De lyder under offentlighetsprincipen vilket innebär att de måste lämna ut efterfrågad information.
Ja, det låter kanske krångligt, men egentligen är det inte så svårt. Har man någonting riktigt bra att locka med, så kommer folk gärna. Även om de måste visa upp lite papper i entrén.
Givetvis kommer det att finnas folk som fuskar. Men så är det ju även idag, som tur är. Jag har själv varit på riktigt dyra inneställen utan en spänn i plånboken.
Men tro mig, en del rika människor kommer att bli sura! De är nämligen vana vid att deras pengar öppnar dörrar, inte stänger dem.
Börja med ett par konserter, kanske en lunchrestaurang. Och så småningom öppnas ett jättelikt inneställe mitt i centrum. Ett ställe där alla som släpps in går runt och mår skitbra för att ingen behöver skämmas över att man inte är rik.
Hur många böcker har det skrivits sedan vi människor lärde oss skrivkonsten? Hur många böcker kommer det att skrivas innan mänskligheten försvinner? Hur många böcker är det teoretiskt (läs: matematiskt) möjligt att skriva?
Det finns ett ändligt antal skriftspråk. För varje sådant skriftspråk används en ändlig uppsättning typografiska tecken. En bok består av ett ändligt antal av dessa tecken. Alltså borde det finnas ett ändligt antal möjliga böcker.
Låt oss för stunden anta att ett sådant antal existerar. Då finns det alltså en övre gräns för hur många böcker det är möjligt att skriva. Eftersom vi människor i mycket hög utsträckning använder böcker som verktyg för att ”lagra” våra poetiska, filosofiska, psykologiska och teknologiska reflektioner, så skulle man kunna drista sig till at anta att alla tankar kan nedskrivas i bokform, och om man accepterar detta kommer man till den lätt skrämmande insikten att det finns ett ändligt antal tankar som vi människor kan tänka och någonsin kommer att kunna tänka. Men låt oss för stunden hålla oss till att det finns ett ändligt antal böcker.
Låt oss vidare, som tankeexperiment, anta att vi i framtiden låter en otroligt (läs: omöjligt) snabb dator systematiskt skapa samtliga möjliga böcker. Denna uppgift består i att gå igenom samtliga kombinationer av typografiska tecken (ändligt många) och välja de som ger språklig mening (vilket är en försvinnande liten del av alla de kombinationer som finns). Datorn skulle till exempel kunna börja med alla böcker som har 25 sidor. I minnet skapas hela boken systematiskt, tecken för tecken, i alfabetisk ordning (eller utifrån någon klurig superoptimerad algoritm som något framtida geni hittar på). En sorts grov språkkontroll utförs därefter. Om någonting är felaktigt kasseras boken och datorn skapar nästa bok. Om hela boken är felfri sparas den på en hårddisk eller något framtida lagringsmedium. Samtliga 25-sidiga böcker som följer språkreglerna kommer så småningom att finnas lagrade. Då fortsätter datorn med böcker på 26 sidor, därefter böcker på 27 sidor och så vidare.
När datorn är klar finns samtliga böcker (som någonsin kan skrivas) lagrade på datorns externminne. Därefter är det bara att börja läsa. Det finns poesi, romaner, detaljerade beskrivningar av historiska händelser, användarmanualer för apparater som ännu ej har uppfunnits, hemligstämplade dokument, falsifikat, sånger, framtida politiska manifest, heliga böcker, självbiografier skrivna av människor som ännu ej har fötts, telefonkataloger för städer som ännu ej har byggts och alla böcker som brände i Alexandrias bibliotek anno 48 f.Kr. och så vidare. Alla hemligheter som kan nedskrivas finns där. Allt finns där. När datorn är klar med sitt arbete kan man söka efter alla typer av information i detta enorma e-bibliotek.
Hur många böcker kommer då att finnas autoförfattade och lagrade? Tja, det vet vi inte, eftersom det kommer att uppfinnas nya ord i framtiden och eftersom den kontroll som datorn utför (för att avgöra huruvida en bok ska sparas eller kasseras) inte är klart definierad. Ska det enbart vara böcker på svenska? Eller kanske engelska? Nutidsengelska? Eller ska vi ta med böcker som innehåller ord som idag inte ger någon mening alls? Man kan mena att alla böcker ska med, alltså även de som inte ens innehåller riktiga ord, eftersom vi inte vet hur framtidens språk kommer att se ut. Men vi kan också begränsa oss till all information som kan översättas till ett av de språk som existerar i den tid då datorns enorma arbetsuppgift utförs.
Vi vet alltså inte vilka böcker (alltså kombinationer av typografiska tecken − en följd av tecken om man så vill) som ska räknas som giltiga böcker. Men vi kan däremot beräkna antalet möjliga böcker.
Låt oss först göra ett par antaganden för att göra de efterföljande beräkningarna lite enklare.
1) En bok består av maximalt 1000 sidor (om den är längre kan den delas upp i ett ändligt antal band som var för sig består av maximalt 1000 sidor).
2) På varje sida i en bok finns det maximalt 100 rader med maximalt 200 tecken på varje rad (om den har fler tecken på en sida, så går det att göra en ny utgåva med maximalt 100 rader och 200 tecken per rad).
3) I en bok används ett ändligt antal typografiska tecken. En bok på engelska kan exempelvis innehålla alla bokstäver (gemener och versaler) från A till Z samt ett antal specialtecken såsom ! ” & . , ; : + ( ) och så vidare (ett mellanslag räknas som ett tecken och även radbyte och sidskift räknas som tecken). Låt oss för enkelhetens skull anta att antalet typografiska tecken som behövs är 40, alltså som svenska och engelska med enbart versaler (om boken är skriven på ett annat språk kan den översättas till ett språk med maximalt 40 typografiska tecken).
Det är inte helt enkelt att acceptera ovanstående antaganden (och jag är inte säker på att man bör acceptera dem). Jag ska snart återkomma till svårigheterna.
Men vi kan enkelt beräkna antalet möjliga böcker som följer ovanstående definition. Jag benämner detta tal Ḃ och räknar lite:
De kortaste böckerna som följer definitionen ovan består av 1 sida med 1 rad och 1 tecken. Antalet sådana ”böcker” blir 40 (eftersom vi har 40 möjliga typografiska tecken). Vi kan kalla detta antal för Ḃ1 och gå vidare till nästa grupp av böcker, nämligen de som består av totalt 2 tecken. Vi inser att antalet böcker i denna grupp blir Ḃ2 = 40 x 40 = 40 upphöjt i 2. Den längste boken består av 1000 sidor med 100 rader på varje sida och 200 tecken på varje rad, alltså totalt 20000000 tecken. Och vi får Ḃ20000000 = 40 upphöjt i 20000000, alltså ett ofattbart stort tal. Summan av alla dessa delsummor blir
och detta tal är så stort, att alla filosofer tryggt kan fortsätta sova gott om natten (tja, en del av dem sover ju även dagtid), ty det är teoretiskt omöjligt att någonsin lagra ens en mycket liten bråkdel av dessa böcker, eftersom det inte finns tillräckligt med elementarpartiklar i universum för att bygga datorns externa lagringsmedia (även om man kunde lagra miljardtals böcker i varje elementarpartikel).
Men nu börjar det krångliga, rent logiskt. Om vi ändrar definitionen av en bok till att maximalt vara 200 sidor, istället för 1000 som ovan, så får vi ju ett mycket mindre antal möjliga böcker (dock fortfarande ett hiskeligt stort tal). Och alla böcker på 1000 sidor kan ju lätt delas upp i 5 band med vardera 200 sidor. Och alla dessa band är ju med bland samtliga möjliga 200-sidorsböcker.
På samma sätt kan vi resonera vidare. Varför inte dela upp alla böcker i pyttesmå band med bara 10 sidor? I varje bok kan vi då säga att det bara finns 25 rader på varje sida och maximalt 50 tecken på varje rad. Då får vi ett mycket mindre antal, eftersom varje bok nu består av maximalt 12500 tecken:
OK, filosoferna sover fortfarande, det ska jag medge (talet ovan är mycket stort). Så vi fortsätter:
Nu delar vi upp alla böcker i band med endast en sida och endast tio rader på denna ena sida. På varje rad finns bara tio typografiska tecken. Då får vi
vilket för all del fortfarande är ett ofattbart stort tal. Filosoferna kan fortsätta vara trygga, även om man föreställer sig kvantdatorer, parallella universa och annat som kvantmekanik och strängteori må ha att bjuda på i framtiden. Men det är egentligen inte det som är poängen. Talet ovan är många gånger mindre än det tal som beskriver alla möjliga böcker med maximalt 1000 sidor. Och ändå kan vi lagra samma mängd information i våra små ensidesband som vi kan i våra 1000-sidorsböcker.
Hur kan det finnas den samma mängd information i mycket färre, och mycket mindre, böcker?
Någonting är galet. Knäcker ni den här, kära läsare, så blir jag imponerad! (Jag vet naturligtvis vad förklaringen är, annars hade jag inte publicerat detta).
Smaklig måltid!
Den här melodin är nog en av de vackraste jag har skrivit, tror jag. Jag ska se till att spela in den ordentligt med full sättning, men tills vidare kan ni lyssna på två ljudfiler som datorn har genererat (alltså MIDI-filer). Spela gärna låten på ditt eget instrument, med din egen grupp. Använd den! (Men glöm ej att ange källan).
Klicka här för att lyssna på ackord och basstämma!
Klicka här för att lyssna på melodistämma!
Här kommer noterna (klicka på bilderna, så öppnas större versioner som är bra vid utskrift):
Förra året skrev min far en text till den här melodin. Så småningom kommer vi att presentera en färdig inspelning här, men tills vidare kan ni lyssna på en ljudfil som datorn har genererat (alltså en MIDI-fil).
Här kommer noterna (klicka på bilden, så öppnas en större version som är lättare att läsa).
Här kommer en relativt ny melodi. Jag ska se till att få den inspelad, men tills vidare kan ni lyssna på en ljudfil som datorn har genererat (alltså en MIDI-fil).
Här kommer noterna (klicka på bilden, så öppnas en större version som är lättare att läsa).
Den här lilla melodin dök upp i mitt huvud för ett par månader sedan. När jag började skriva ner den upptäckte jag till min fasa att den går i 31/8, vilket är en väldigt udda taktart. Men låten passar fantastiskt bra till tvärflöjt.
Gitarristen Mats Götherskjöld har hittat på ackordföljden.
Tills vidare får ni hålla till godo med kort version som vi all hast spelade in i studion…
… samt en ljudfil som datorn har genererat (alltså en MIDI-fil), med ett pianoliknande ljud.
Klicka här för att lyssna på MIDI-filen!
Klicka här för att se låten live (ganska dåligt ljud)!
Här kommer noterna (klicka på bilden, så öppnas en större version som är lättare att läsa).
Bra träning för alla flöjtelever!
Ny diktsamling ute nu. Köp den för endast 91 kr på https://titlar.trombone.se/#post7.
Läs ett utdrag ur boken här: www.trombone.se/pdf/Jensen2011.pdf.
Under veckan läste jag den fantastiska boken The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, skriven 1959 av Martin Gardner. På svenska heter den Rolig Matematik och är utgiven av Natur och Kultur, 1985. Läs den och njut.
Gardner ger en fullständig analys av ett gammalt känt problem. Jag fick lite ”inspiration” av detta och skrev en utvidgad, modern variant:
En landsortsbo anländer till storstaden, går genast vilse och befinner sig plötsligt i ett område där två rivaliserande ungdomsgäng huserar. Det framgår av områdets graffitti att de två ungdomsgängen heter Lögnarna och Tjallarna.
Landsortsbon frågar en förbipasserande: ”Vad handlar det här om?”
Den förbipasserande ger följande förklaring: ”Lögnarna har skapat en egen sjuk subkultur som innebär att samtliga deras medlemmar alltid ljuger. Som motvikt till detta har Tjallarna skapat en subkultur som innebär att de alltid talar sanning. Alla som tillhör ett av dessa två gäng bär svarta kläder.”
Den förbipasserande, som bär vita kläder, försvinner därefter snabbt.
Efter en stund kommer landsortsbon till ett vägskäl. En skylt förklarar att den ena vägen leder ut ur det gängstyrda området, medan den andra leder till en återvändsgränd dit båda gängen brukar lura oskyldiga oinvigda och misshandla dem svårt. Under skylten satt det tidigare en pil som visade rätt väg ut, men eftersom pilen var gjort av metall har den för länge sedan nedmonterats och gjorts om till någon sorts vapen.
Vid vägskälet står en ensam svartklädd person. Landsortsbon går fram till denna och säger: ”Eftersom du har svarta kläder på dig, så antar jag att du är medlem i antingen Lögnarna eller Tjallarna, stämmer detta?”
Den svartklädde svarar: ”Nej, alla gängmedlemmar bär vita kläder. Du får ställa mig en enda fråga till. Sedan går jag härifrån.”
Landsortsbon tänker nu ett ögonblick, formulerar därefter en enda fråga och till sist avslöjas den rätta vägen. Hur?
När man omtalar en person (på svenska) används ofta följande pronomen: han, hon, honom, henne, hans och hennes. Dessa ord är könsbestämda, vilket innebär att den omtalade personens kön bestämmer vilket av orden som ska användas i det aktuella grammatiska sammanhanget.
Om man inte vet vilket kön den omtalade personen har (eller inte vill lägga fokus på vilket kön den omtalade personen har) är det vanligt att skriva han eller hon (eller han/hon), henne eller honom (eller henne/honom) och hans eller hennes (eller hans/hennes) eller liknande sammansättningar. Man kan även omformulera sina meningar och exempelvis använda orden den eller personen för att undvika könsbestämda pronomen. Men det finns ytterligare alternativ.
Som barn, i mitten av åttiotalet, presenterades jag för första gången för ett könsneutralt pronomen. Min far kom hem efter en resa. På tåget hade han träffat en grupp unga människor som satt och spelade Gnav. Detta spel kände min far inte till och han frågade vad det var. Det slutade med att han fick med sig ett maskinskrivet pappersark som tydligt beskrev reglerna. På detta papper användes det danska ordet hyn istället för han/hun, alltså ett könsneutralt pronomen i tredje person singular nominativ.
I Sverige har det under årens lopp föreslagits ett antal nya könsneutrala pronomen, och idag är det följande ord som oftast används: hen, henom och hens.
Jag är en varm anhängare av att man inför nya ord i språket – och jag är en lika varm motståndare till att man tar bort befintliga ord ur språket. De nya orden hen, henom och hens är bra komplement till de existerande orden, men det är inte meningen att orden han och hon ska avskaffas. Att göra så vore komplett idiotiskt – och det skulle i längden kunna leda till en fascistoid språkpolitik. Läs Orwells Nineteen Eighty-Four, ifall ni inte har gjort det redan. Och läs en massa poesi också. Nedan ger jag exempel som visar att alla orden behövs.
Men låt oss först prata lite grammatik. Det är bra med nya ord, men grammatiken måste vara tydlig. Jag har läst flera debattartiklar där folk trasslar in sig i märkliga böjningar (t.ex. henoms), vilket leder till att all snack om ett könsneutralt personligt pronomen blir oseriös. Så här är det:
HEN, hon, han (personliga pronomen i tredje person singular nominativ, ibland singular ackusativ).
HENOM, henne, honom (personliga pronomen i tredje person singular ackusativ och dativ).
HENS, hennes, hans (possessiva pronomen i tredje person singular).
Nu till ett par exempel som visar att alla ovannämnda ord behövs:
MENING 1: Medspelaren lägger sitt högsta kort för att visa vad hen har. l bästa fall kan hen ta sticket och då ska hen omedelbart replikera med att spela tillbaka i din färg. (Fiktivt utdrag ur ”Regler för Whist”)
MOTIVATION 1: Ordet hen används för att visa att vi inte vet vilket kön medspelaren har (och att det i övrigt inte spelar någon roll vilket kön medspelaren har).
MENING 2: Han var väldigt glad över att värnplikten avskaffades. (Fiktivt utdrag ur tidningsartikel)
MOTIVATION 2: Ordet han används här för att precisera att det är en person av hankön (och därmed tidigare omfattad av värnplikten) som är glad. En underförstådd innebörd blir nu att glädjen eventuellt hänger ihop med att han slipper göra lumpen. Om detta är precis vad man vill uttrycka, då är ordet han adekvat i denna mening.
MENING 3: Hen var väldigt glad över att värnplikten avskaffades. (Fiktivt utdrag ur intervju med fredsaktivist)
MOTIVATION 3: Ordet hen används här för att inte lägga fokus på personens kön. En underförstådd innebörd blir att glädjen hänger ihop med att ett viktigt politiskt beslut nu har fattats. Om detta är precis vad man vill uttrycka, då är ordet hen adekvat i denna mening.
MENING 4: Hon var väldigt glad över att värnplikten avskaffades. (Fiktivt utdrag ur roman)
MOTIVATION 4: Ordet hon används här för att precisera att det är en person av honkön (och därmed inte omfattad av värnplikten) som är glad. En underförstådd innebörd blir nu att glädjen hänger ihop med att pappan till hennes barn slipper göra lumpen och hamna i krig. Om detta är precis vad man vill uttrycka, då är ordet hon adekvat i denna mening.
Med dessa exempel vill jag visa att ju fler ord vi har i språket, ju mer nyanserat kan vi uttrycka oss. Betrakta nedanstående tre meningar. Läs varje mening för sig, slut ögonen och föreställ dig situationen. Den bilden du ser för ditt inre beror på vilket pronomen som används. Därför behövs orden han och hon. Ordet hen är inte lämpligt nedan, eftersom vi inte kan avgöra vilken inre bild som ska gälla.
MENING 5: Han ställde sig och kissade bakom ett träd.
(Vad ser du för ditt inre?)
MENING 6: Hon ställde sig och kissade bakom ett träd.
(Vad ser du för ditt inre?)
MENING 7: Hen ställde sig och kissade bakom ett träd.
(Vad ser du för ditt inre?)
MENING 8: Jag höll på att förlora spelet. Men då föreslog min motståndare en kort paus, och medan hen var och kissade köpte jag ännu en öl och vann därefter stort. (Hört på krogen)
MOTIVATION 8: Ordet hen används här för att inte lägga fokus på personens kön. Personens kön spelar ingen roll i sammanhanget, eftersom fokus primärt ligger på spelet, en paus och en öl.
Jag hoppas att dessa exempel sätter igång nya tankar hos mina läsare. Hädanefter kommer jag att använda könsneutrala pronomen i mina texter (i de fall då det är vettigt att göra så, vilket nog blir relativt sällan).
På skivan All You Can Eat från 2005 fanns låten Something with Cheese. Peter Nilsson hittade på basen och jag skrev melodin. Tanken var att den skulle påminna om 60-talets spionfilm-biljakt-detektiv-låtar à la Mancini. Vi lyckades ganska bra, tycker jag:
Jag hittade nyligen noterna i en gammal pärm, så dem får ni också (klicka på bilden för en större version).
Den här hörde jag på en pub igår. Kan du din Beskow? Kan du din färglära? Din genetik?
Ersätt frågetecknet med det rätta svaret. Läs första kommentaren för att se lösningen.
| Tant Grön | bor i gröna huset |
| Tant Gredelin | bor i lila huset |
| Tant Brun | bor i bruna huset |
| Farbror Blå | bor i blåa huset |
| ? | bor i vita huset |
Det här inlägget handlar om de logiska operatorerna i C++ och om en speciell egenskap vid två av dessa operatorer – en egenskap som kan utnyttjas i vissa situationer.
Till vårt förfogande finns följande operatorer:
|| (eller)
&& (och)
! (icke)
Dessa tre operatorer har logiska uttryck som operander och deras resultat blir likaledes ett logiskt värde. Ett logiskt uttryck i C++ är ett uttryck som entydigt kan typomvandlas till datatypen bool. Exempelvis kan alla tal omvandlas till true eller false (noll blir false och alla andra värden blir true).
Om A och B är logiska uttryck i C++, så gäller som bekant följande:
A || B är true om A eller B (eller båda) är true, annars får A || B värdet false.
A && B är false om A eller B (eller båda) är false, annars får A && B värdet true.
Detta gör att följande situation uppstår:
Om vi ska beräkna A || B och vet att A blir true, behöver vi inte räkna ut B för att få svaret.
Om vi ska beräkna A && B och vet att A blir false, behöver vi inte räkna ut B för att få svaret.
I standarden för C++ har detta tagits i beaktande, och uttrycket B räknas aldrig ut i de situationer som nämns ovan. Detta ska vi utnyttja nedan.
I C++ kan man som bekant skapa egendefinierade typomvandlingsoperatorer för en klass, vilket exempelvis har gjorts för klassen istream (och därmed objektet cin).
Nästan alla som håller på att lära sig C++ kommer någon gång att skapa textbaserade applikationer (exempelvis Win32 Console) och utnyttja standard in- och utmatningsobjekten cin och cout. I annat fall kommer många att läsa från filer med objekt av klassen ifstream, och då gäller samma princip: Objektet cin kan tolkas logiskt med hjälp av en fördefinierad typomvandlingsoperator. Om ett internt feltillstånd uppstår vid inmatning, så tolkas cin som false. Om allting har gått bra vid inmatning tolkas cin som true.
Ett exempel på en misslyckad inmatning som leder till att cin tolkas som false kan vara att det läsas in en bokstav när inmatningsoperatorn förväntar ett heltal. Detta kan man vanligtvis behandla så här:
Variabeln tal nedan kan vara av typen int eller en annan typ som inmatningsoperatorn kan hantera:
cin>>tal;
while (!cin)
{
cin.clear();
cin.ignore(1024,’\n’);
cin>>tal;
}
Slingan ovan fortsätter tills ett giltigt värde har lästs in till variabeln tal (först då får !cin värdet false och while-snurran avslutas). Funktionen clear nollställer feltillståndet i objektet cin och funktionen ignore ser till att alla tecken som har hunnit läggas i kö (till inmatningsströmmen) ignoreras, ända fram till tecknet ’\n’ som är det radslutstecken som genereras av den ENTER-tangent som förväntas avsluta inmatningen av ett heltal. Funktionsanropet ovan ignorerar maximalt 1024 tecken, men det är knappast troligt att användaren har hunnit trycka på så många tangenter.
Låt oss nu roa oss med och-operatorn. Hela programfragmentet ovan får plats på en enda rad:
while (!(cin>>tal) && (cin.clear(),cin.ignore(1024,’\n’)));
Ovanstående while-sats utnyttjar följande fakta:
1) Inmatningsoperatorn >> ger som resultat en referens till objektet cin som i sin tur tolkas som false om inmatningen inte gick bra.
2) Den logiska operatorn && beräknar endast sin högra operand ifall den vänstra är true.
3) Kommaoperatorn beräknar sina operander i tur och ordning och lämnar högra som resultat.
4) Funktionen ignore returnerar själva objektet cin vilket i fallet ovan tolkas som true (efter clear-anropet).
5) Satsens sista semikolon innebär att while-snurrans kropp är en tom sats.
I dina Win32 Console-applikationer kan du alltså med fördel ersätta alla inmatningssatser av typen
cin>>tal;
med satsen
while(!(cin>>tal)&&(cin.clear(),cin.ignore(1024,’\n’)));
för att förhindra att programmet hänger sig när användaren skriver in en bokstav och programmet förväntar sig ett tal. Eventuellt kan du lägga till ett litet felmeddelande och satsen är komplett:
while(!(cin>>tal)&&(cin.clear(),cin.ignore(1024,’\n’)) cout<<”Felaktigt tal!”<<endl;
Detta sätt att utnyttja de logiska operatorerna för att förenkla programstrukturen kan tillämpas i många situationer. Enbart din fantasi sätter gränserna.
Under första hälften av 2009 blev jag klar med en samling dikter. Utan stora förhoppningar skickade jag iväg mitt manuskript till ett antal bokförlag. Det kändes som att detta poesiprojekt behövde få ett slut.
Men vem ger ut sådant idag?
Det finns faktiskt ett litet förlag som fortfarande satsar på lyrikdebutanter. Och jag fick napp. Förlaget heter Trombone och håller till i Göteborg. Det är kul!
Besök gärna förlaget Trombone: www.trombone.se
De har även en blogg, där jag är inbjuden som skribent, se blogg.trombone.se
Boken kostar endast 91 kr (plus 10 kr porto) och kan köpas billigt direkt från förlagets hemsida: https://titlar.trombone.se/#post6.
Utdrag ur Skärmen:
I kolsvarta natten sitter vi
stilla
och låter utan motstånd
ögonblicket förstöras av tidsandan.
Sjön är skinande.
Vi kunde spegla oss
ifall vi inte var döda.
Två rovfåglar kysses.
Här kommer en springande liten låt från 2001. Det är Per Fenger-Krog som spelar klaviatur.
Här kommer noterna – klicka på bilden, så öppnas en större version som är lättare att läsa.
Jag minns hur jag som femtonårig häpnades över kraften i filmen Koyaanisqatsi av Godfrey Reggio. Denna film är den första i den så kallade Qatsitrilogi: Koyaanisqatsi: Life out of balance (1983), Powaqqatsi: Life in transformation (1988) och Naqoyqatsi: Life as war (2002). Läs mer på www.koyaanisqatsi.org. Dessa filmer bör alla se!
Koyaanisqatsi blev dessutom min första upplevelse av kompositören Philip Glass, eftersom musiken i filmen spelar en oumbärlig roll. Alla som inte känner till denna lysande minimalist, bör genast åtgärda detta. Börja med hans mästerverk Solo Piano från 1989. Besök www.philipglass.com för mer information.
OK, där fick ni ett par länkar.
Philip Glass’ musik har haft så stor betydelse i mitt liv att jag för cirka fem år sedan döpte en låt efter honom. Den var med på en demo-cd som gjordes 2004. Senare hamnade den i annan version på skivan All You Can Eat som släpptes 2005. Klicka här för att lyssna på den första versionen.
Här kommer noterna – klicka på bilden, så öppnas en större version som är lämplig vid utskrift.
Någon gång under 2003, då USA började bombningen av Bagdad, skrev jag en mörk låt i frustration över att kriget vann över diplomatin.
Låten spelades in (klicka här för att lyssna på den första versionen) och senare hamnade den i en utökad fri improvisatorisk utgåva på en skiva (av upphovsrättsliga skäl kan jag inte lägga ut denna utgåva, då blir skivbolagsfolket kanske sura). Slutligen gjordes en tredje version med Carrilho Jensen Nyberg:
Här kommer noterna – klicka på bilden, så öppnas en större version som är lättare att läsa.
Jag kommer då och då att publicera lite noter på Blogg Off. Här kommer en låt som jag skrev vid flygeln på Grebbestads Folkhögskola där jag var på besök våren 2006.
Ursprungligen var den tänkt som filmmusik. Då skulle den kunna låta så här (klicka för att ladda hem en mp3-fil som har extraherats från mitt notprogram – det är alltså datorn som ”spelar”).
Året efter blev den till en latin/salsa-inspirerad grej med mitt dåvarande band.
Då blev den lite vildare, ladda ner här.
Och här kommer noterna – klicka på bilden, så en öppnas större version som är lämplig vid utskrift.
.
..
…
…..
…….
……….
………….
……………..
…………………
………..jag andas
…………..tills jag har
…………………tillräckligt
……………………….med luft
………………………..för att kunna
…………………………………..blåsa ut
…………………………………..en hel roman
……………………………………….men min kropp
…………………………………………….upptar det mesta
………………………………………………..och det enda jag gör
………………………………………………………………………..är att rapa
……………………………………………………………………en liten indisponerad
…………………………………………………………………………………………..överskottsdikt
Alla som är det minsta intresserade av matematik, fysik eller filosofi i allmänhet känner till den mest berömda av Zenons paradoxer, nämligen den om Akilles och sköldpaddan. Det finns en lång rad liknande paradoxer, och har man väl förstått den första är det lätt att förstå dem alla.
Men en dag då jag satt och ”pusslade lite” hittade jag en paradox som faktiskt kräver lite eftertanke. Vi kan passande kalla den Jensens paradox (förväxla den inte med Jensen’s inequality eller The Jensen’s Inequality ”Paradox”, en ekonomisk avhandling av Susan Woodward).
Här kommer den:
Betrakta nedanstående figur som innehåller punkterna A, B och C:
Om vi vill gå från punkten A till punkten C kan vi välja att först gå i en horisontell linje till punkten B och därefter fortsätta i en vertikal linje upp till punkten C. Om avståndet är 1 mellan A och B samt mellan B och C, så kommer den totala sträckan, säg S, att bli 1+1, alltså lika med 2, om vi väljer att gå denna väg.
Betrakta nu nästa figur:
Här går vi först horisontellt halva vägen till B, därefter vertikalt halva vägen till C, och sedan upprepas detta en gång varvid vi hamnar i punkten C. Sträckan S blir återigen lika med 2.
Vi fortsätter lite till:
Här har vi delat in varje ”trappsteg” ovan i två nya trappsteg. Sträckan S blir återigen lika med 2.
På detta sätt skulle vi kunna fortsätta ett bra tag. Härunder har vi 8 steg:
Härunder 16 steg:
Och 32 steg:
En gång till. Nu har vi 64 steg:
Vi har nu delat in sträckan mellan A och C i 128 små sträckor (64 horisontella och 64 vertikala), och det är enkelt att inse att den totala sträckan fortfarande är 2. Rent matematiskt kan detta skrivas så här:
Om vi nu föreställer oss att vi delar in sträckan i väldigt många, säg n stycken, horisontella och vertikala sträckor, så ser det ut så här:
Summan av alla delsträckorna kommer alltid att vara 2, d.v.s. att den totala sträckan alltid är 2, även om vi delar in sträckan i oändligt många delsträckor:
Och därför får vi att nedanstående sträcka är lika med 2 (eftersom gränsvärdet ovan blir 2):
Men enligt Pythagoras’ sats är hypotenusan av triangeln nedan lika med roten ur 2:
Så alltså, vi har nu sett att sträckan S mellan punkten A och punkten C alltid är lika med 2, samtidigt som vi vet att den är lika med roten ur 2 (enligt Pythagoras). Smaklig måltid!
För en del år sedan infördes det nya pensionssystemet i Sverige. Systemet innebär att varje enskild pensionssparare får en begränsad möjlighet att själv bestämma på vilket sätt en liten del av de egna pensionspengarna ska placeras under den tid som är kvar till pensionsåldern.
Ok. Helst skulle jag då vilja ha utbetalt mina premiepensionspengar direkt, så jag redan nu kan använda dem till att göra världen aningen bättre. Men det säger lagen att jag inte kan få.
Ok. I så fall skulle jag vilja placera pengarna på ett ställe där de inte gör någon skada. Men detta är omöjligt, i dagsläget. Oavsett om jag väljer en pensionsfond som kallar sig miljövänlig eller etisk så är det likförbannat en fond. Och huvudsyftet med en fond är att den ska gå med vinst. Detta sker genom kortsiktiga eller långsiktiga spekulationer. Dessa spekulationer drabbar ofta tredje världens länder, direkt eller indirekt. Speciellt kortsiktiga valutaspekulationer kan ha ödesdigra konsekvenser för länder som har en klen ekonomi jämfört med exempelvis Europa och USA.
För några år sedan bildades gräsrotsorganisationen Attac som bland sina mål hade införandet av en skatt på valutatransaktioner, den s.k. Tobinskatten. Orsaken var att noggranna analyser (av Nobelpristagare i ekonomi) visar att de kortsiktiga valutatransaktionerna i allmänhet skadar världens fattiga länder. Jag ska inte gå in på de tekniska detaljerna bakom detta faktum just nu, men nämna att det är just pensionsfonderna som står för en mycket stor andel av världens kortsiktiga valutatransaktioner.
Alltså, genom att vi placerar våra pensionspengar i en fond, så medverkar vi indirekt till att öka den globala ekonomiska obalansen. Och då tänker jag följaktligen:
Framtiden för våra barn är tillräckligt osäker som situationen är. Jag vill inte att mina pensionspengar ska placeras i någon av de existerande fonderna.
Om jag inte kan få utbetalt pengarna nu, så vill jag ge bort dem!
Så jag skulle vilja starta en premiepensionsfond vars reella syfte är att gå med 100% förlust. Detta ska åstadkommas genom att investera alla fondens pengar i humanitära projekt, exempelvis i byggande av dricksvattensanläggningar och skolor i Afrika.
Jag tror att en sådan fond skulle locka många svenska medborgare. Vi har ju så vi klarar oss här. Låt oss göra något bra med de pengar vi inte behöver.
Om du tycker detta låter spännande, så kontakta mig, då kan vi ju starta denna fond tillsammans.
Svårigheten ligger i att få denna nya humanitära pensionsfond registrerad hos PPM och att få den godkänd så den kommer med när det orange kuvertet skickas ut. Lite juridisk hjälp behövs. Någon typ av reklam kommer också att behövas. Sedan tror jag att vi kan göra en skillnad, i rätt riktning.
Den här hörde jag för många år sedan. Jag har omformulerat den lite, dels för att göra den svårare och dels för att mina kära läsare inte ska börja leta efter svaret utan tänka ut det själva.
Vilket husnummer har doktor Karlsson?
Vi ska spola tiden långt tillbaka om vi vill komma till den epok då musikgenren blues ansågs vara ett hot mot det existerande, rebellisk, farlig och framförallt syndig. Idag använder vi hela tiden de blå tonerna som då utgjorde faran, i hundratals nya musikgenrer, så våra öron och sinnen är vana vid tritonus.
Men jag fortsätter spela blues, eller åtminstone bluesaktigt. Varför? För att det finns något att hämta där. Fortfarande.
För fem år sedan visste jag inte exakt vad jag letade efter i bluesen. Men så hände det: Blues behöver en udda taktart istället för den gamla vanliga 4/4. Då blir det riktigt blått.
Så varför skriver jag detta nu? Dels för att jag precis läste att Freddie Hubbard dog för inte mer än 6 veckor sedan – han är värd att minnas – och dels för att jag precis har påbörjat ett projekt med att digitalt renskriva gamla (och nya) handskrivna noter.
Freddie Hubbard släppte skivan Blue Spirits 1965. Öppningslåten Soul Surge är en instrumental soul-blues i 7-takt. Svängigt
Så tanken om att blues kan kombineras med udda taktarter är inte ny. Men den är lite bortglömd. Det vill jag göra något åt, så småningom …
Jag släppte en skiva våren 2005 med låten That Blues, en blues i 7/4, skriven gemensamt av min förrförra kvartett. Låt oss dedicera den låten till Freddie!
Och här kommer noterna – klicka på bilden, så öppnas en större version som kan användas vid utskrift.
För en del år sedan hade jag hand om fyra programmeringskurser vid Göteborgs universitet. Nedanstående artikel är hämtad ur min disposition för en introduktionsföreläsning om pekare.
Du är välkommen att kopiera och använda texten såframt källan anges. Materialet kan användas som kompendium för både högskola och gymnasium.
Hursomhelst, här kommer texten:
Definition av variabler
När vi definierar en variabel av en viss typ (exempelvis double) reserveras ett litet utrymme i datorns minne. Detta utrymme är exakt så stort att ett värde av denna typ (alltså double) får plats. Vi kan föreställa oss att vi skapar en liten korg som sedan kan innehålla ett värde. Korgen har ett namn (variabelns namn) och en storlek (variabelns datatyp).
Vi kan rita detta:
Om vi nu lägger in ett tal i variabeln, så kan detta också ritas:
Pekare
En pekare används för att beskriva den plats vi har reserverat i datorns minne när vi har definierat någonting (till exempel en variabel, ett objekt eller en funktion).
En sådan plats kännetecknas av:
• att den finns på ett ställe (detta ställe kallas vanligtvis adressen för variabeln)
• att den har en viss storlek (som kan mätas i bytes)
• att den har en viss typ (vilket innebär att enbart värden av denna typ kan lagras på platsen)
Kort sagt: En pekare är en liten mängd information som beskriver en plats i datorns minne genom att lagra platsens adress och platsens datatyp (vilken i sin tur lagrar platsens storlek).
Egentligen är ordet pekare en gemensam benämning på två olika begrepp, nämligen pekarvärde och pekarvariabel. Det blir enklast om vi härefter skiljer på dessa två begrepp, precis som när vi skiljer på exempelvis heltalsvärde och heltalsvariabel.
Pekarvärden
Ett pekarvärde är den adress som beskriver för datorn på vilken plats en variabel, ett objekt eller en funktion finns. Varje ny variabel som definieras får en helt egen adress eftersom varje variabel placeras på en ny plats. Två olika variabler kan aldrig ha samma adress.
Varje adress är ett heltal som skrivs på hexadecimal form, exempelvis 55A2116B. Vi kan aldrig veta i förväg vilken adress som tilldelas till en variabel. Detta avgörs internt av programmet (i en sorts samarbete med operativsystemet) när programmet körs.
Men vi kan rita ett pekarvärde som en pil. Eftersom ett pekarvärde är adressen till en variabel, så låter vi pilen peka på denna variabel. Så här kan det se ut:
Adressoperatorn &
Om vi har en variabel så kan vi få fram ett pekarvärde för denna variabel genom att använda adressoperatorn. Den skrivs med &-tecknet.
Uttrycket &tal ger som resultat det pekarvärde som pekar på variabeln tal, d.v.s. adressen till tal.
Pekarvariabler
Precis som med alla andra värden (heltalsvärden, flyttalsvärden etc.) så går det att skapa en variabel som kan innehålla pekarvärden. En sådan variabel kallas en pekarvariabel.
För att definiera en pekarvariabel måste man använda tecknet * vid definitionen:
Om vi nu tilldelar pekarvärdet &tal till pekarvariabeln pek, så ser det ut så här:
Avrefereringsoperatorn *
Om vi har ett pekarvärde så kan vi få fram det som finns på denna adress genom att använda *-operatorn (även kallad stjärnoperatorn ibland). Den skrivs med tecknet * (förväxla inte denna operator med samma symbol som används vid multiplikation av tal eller, som ovan, vid definiering av pekarvariabler).
Uttrycket *pek ger som resultat det som finns på den adress som lagrats i pekarvariabeln pek.
Man kan använda stjärnoperatorn både vid tilldelningar (jmf. exemplet nedan) eller som ett ingående uttryck i andra typer av satser.
Tom pekare
Säg att vi har skapat en pekarvariabel för senare bruk, men ännu inte satt denna pekare att peka på någonting. Då finns det inget giltigt pekarvärde i pekarvariabeln, vilket kan leda till problem om man försöker använda det som pekaren pekar på – eftersom vi inte vet vart den pekar! För att undvika detta problem bör man använda en så kallad tom pekare (även kallad nollpekare). En tom pekare skapas genom att tilldela pekarvariabeln heltalsvärdet noll.
Man kan rita ett kryss i bilden av pekarvariabeln för att visa att den inte innehåller någon pil.
Ett exempel med pekare
Fält och pekare
I mina texter använder jag ofta benämningen fält för det begrepp som på engelska heter array, eftersom jag tycker, att har man nu översatt större delen av de engelska programmeringsbegreppen till svenska (t.ex. pointer=pekare, value=värde och integer=heltal), så bör man vara konsekvent och hitta lämpliga översättningar på samtliga begrepp. I en del programmeringsböcker föreslås den svenska termen vektor för det engelska array. Men detta är tanklöst eftersom den termen redan är upptagen. Dels används matematiska vektorer flitigt vid avancerade beräkningar i datorprogram och dels finns det en standardmall i C++ med namnet vector.
Hursomhelst, följande gäller: namnet på ett fält är i själva verket ett konstant pekarvärde som pekar på första elementet i fältet. Fältnamnet kan aldrig sättas att peka på någonting annat än första elementet i fältet. När man har definierat ett fält, så finns det alltid detta konstanta pekarvärde av samma typ som fältet.
Med indexoperatorn [ ] kan man få fram ett visst element i ett fält. Men detta skulle man lika gärna kunna göra med hjälp av stjärnoperatorn och additionsoperatorn. Uttrycket hf[3] har samma värde som uttrycket *(hf+3) och är alltså det som finns 3 steg framåt från första elementet i fältet. Storleken på varje steg beror på vilken typ pekarvärdet har. Exempelvis har en int storleken 4 bytes.
Strängar och pekare
Den typen av strängar som vi skapar med hjälp av ett fält av tecken, d.v.s. ett fält vars element har typen char, hänger nära ihop med pekare. Namnet på ett fält är alltid ett konstant pekarvärde som pekar på första elementet i fältet. Detta gäller även för strängar.
Lägg märke till att strängens sista element är talet 0. När detta tal tolkas som ett tecken kallas det ett nolltecken och markerar strängens slut. Förväxla inte talet 0 med tecknet ’0’ som har värdet 48.
Det går som bekant även att i sin kod (C eller C++) skriva in teckenfältsliteraler (konstanta teckenfält, d.v.s. strängar som inte ligger i ett definierat fält). En teckenfältsliteral är alltid ett pekarvärde som pekar på sitt eget första element. Detta kan också ritas:
Dynamisk minnesallokering
Med new-operatorn (och new[ ]-operatorn) kan man direkt allokera minne (d.v.s. reservera minne) under programkörningen. Operatorn new gör två saker:
1) Den reserverar ett minnesutrymme av samma typ som den man anger när operatorn används.
2) Den lämnar ett pekarvärde som resultat. Pekarvärdet pekar på det utrymme som har reserverats.
Här har vi en situation där det reserverade minne inte har något eget namn, varken direkt (t.ex. ett variabelnamn) eller indirekt (t.ex. namnet på ett statiskt definierat fält). Det enda sättet för programmeraren att komma åt det reserverade utrymmet är via det pekarvärdet som lämnades som resultat av new-operatorn då denne användes. Därför är det viktigt att inte ”slarva bort” detta pekarvärde utan genast spara det i en lämplig pekarvariabel, precis som i exemplet ovan där pekarvärdet sparas i pekarvariabeln pp.
Pekararitmetik
Aritmetik betyder räknelära eller en mängd regler för hur man får räkna. Helt beroende på vilka enheter beräkningarna innehåller (exempelvis reella tal, hela tal, äpplen, pekarvärden i C++ eller tidpunkter) så används olika aritmetiker. För alla våra vardagliga siffror används den aritmetik som vi lär oss redan i grundskolan, nämligen den som innehåller de fyra räknesätten: addition, subtraktion, multiplikation och division. Men det är långt ifrån alla aritmetiker som har fyra räknesätt (i C++ talar man om s.k. operatorer istället för räknesätt).
För pekarvärden finns det två grundläggande aritmetiska operationer vi kan utföra: 1) Lägga till ett heltal och 2) dra ifrån ett heltal. Om vi adderar ett pekarvärde, säg p, med ett heltal, säg h, så får vi som resultat ett nytt pekarvärde som pekar h steg framåt, räknat från p. Det samma gäller vid subtraktion.
Om vi bara vill ändra pekaren till att peka ett steg fram eller tillbaka i minnet, så används med fördel operatorerna ++ och –– (öknings- och minskningsoperatorn).
Ett exempel med pekaraddition
Mer om indexeringsoperatorn
Indexeringsoperatorn [ ] skulle man i princip kunna ta bort ur språket C++, eftersom allt den gör är att sätta ihop en pekaraddition och en *-operation. Men det underlättar onekligen läsningen av vår källkod om vi använder indexeringsoperatorn när vi arbetar med fält.
Hursomhelst, ISO-standarden för C++ säger att:
a[b] == *(a+b), där a är ett pekarvärde och b är ett heltal.
En lite bisarr konsekvens av detta blir att eftersom addition är kommutativ (detta gäller även i pekararitmetiken), så får vi följande:
a[b] == *(a+b) == *(b+a) == b[a]
Exempelvis kan vi istället för text[4] skriva 4[text] om vi vill ha tag i element nummer 4 i ett fält som heter text. Eller ännu värre:
Uttrycket ”Hejsan”[3] har som resultat tecknet ’s’ eftersom indexeringsoperatorn tar fram element nummer 3 (alltså det fjärde elementet) i teckenfältsliteralen (”Hejsan” är ju ett pekarvärde). Men med ovanstående resonemang kan vi lika gärna skriva 3[”Hejsan”] – och visst, det går bra!
”Att lära genom att lära ut”
(Jean-Pol Martin)
Innan jag började undervisa i C++ var jag övertygad om att jag hade fullständigt koll på alla teoretiska aspekter av detta omfattande programmeringsspråk.
Men oförutsedda frågor från mina skarpa elever fick mig snart på andra tankar.
Idag, hundratals föreläsningar och lektioner senare, vill jag påstå att jag har koll. Tack vare att jag fick lära mig genom att lära ut!
Därför börjar jag denna kategori med en liten teoretisk uppgift till alla professionella programmerare:
Betrakta följande uttryck i C++:
(1==0)[”0==1”]
Vilket värde har detta uttryck?
Vilken datatyp har uttrycket?
Varför?
Ett tag studerade jag matematik, sammantaget halvtannat år, och jag hann komma en bit på vägen. I de matematiska konventionerna upptäckte jag då och då bristande konsekvens eller logiska otydligheter som tycks ha passerat matematikprofessorerna opåtalade, eller? Nedan följer ett exempel.
Otydlighet uppstår (ibland) när vi vill definiera ett begrepp med hjälp av ett antal axiom. Säg att vi vill definiera begreppet β med hjälp av en beskrivning (innehållande en eller flera tidigare definitioner), säg B, samt krav om att B uppfyller vissa axiom, säg A1, A2 och A3. En sådan definition formuleras ofta på följande sätt:
Definition: β är en B som uppfyller följande tre axiom:
i) A1
ii) A2
iii) A3
Med detta menas att samtliga axiom (i detta fall 3 stycken) måste uppfyllas av B.
Men då skulle definitionen lika gärna kunna formuleras annorlunda:
Definition: β är en B som uppfyller följande axiom: A1 ⋀ A2 ⋀ A3
vilket kan skrivas på flera olika sätt, till exempel följande:
Definition: β är en B som uppfyller följande axiom: A3 ⋀ A2 ⋀ A1
och då är vi framme vid insikten att β även kan definieras på exempelvis följande sätt:
Definition: β är en B som uppfyller följande tre axiom:
i) A3
ii) A2
iii) A1
Kort sagt, om vi vill kunna skriva definitionen så den innehåller en lista med axiom, så bör ordningsföljden av axiomen i listan inte spela någon roll för innebörden av definitionen. Men i så fall måste samtliga axiom formuleras på ett sådant sätt att de är oberoende av varandra. Och så är inte alltid fallet, se exemplet härunder.
Jag har läst avsnitten som behandlar den grundläggande teorin om grupper i böckerna Modern Algebra – an introduction av John R. Durbin och Rings, Fields and Groups – An introduction to abstract algebra av R.B.J.T. Allenby. I dessa böcker ges följande definition på en grupp:
I denna definition måste axiom ii) presenteras innan axiom iii). Man kan i princip föreställa sig nya väldigt komplicerade definitioner, kanske innehållande hundratals axiom. Då kan man även föreställa sig att dessa hundratals axiom beror på varandra på ett ganska oöverskådligt sätt.
Därför bör det göras till en konvention vid den här sortens definitioner att formulera de ingående axiomen på ett sådant sätt att de blir oberoende av varandra.
Som exempel omformulerar jag gruppdefinitionen ovan:
Fördelen vid den nya definitionen är att alla 3 gruppaxiom nu har samma status – ordningsföljden för axiomen spelar inte längre roll. Dock måste nu definitionen av neutralt element ges separat, men detta är inget problem (faktiskt är det en fördel).
När beräkningar ska utföras använder många en mängd aritmetiska och algebraiska regler utan att fundera närmare över vad det egentligen är de gör. Följande exempel illustrerar detta:
Så alltså: 1 är lika med -1.
Uppenbarligen måste minst ett av likhetstecknen ovan vara ogiltiga. Men vilket? Eller vilka?
Jag har märkt att många gymnasiematematiklärare finner detta problem svårt. Och det säger mer om lärarna än om problemet!
